ЛОМАНЫЕ И МНОГОУГОЛЬНИКИ

1.     Соедините: а) 9 точек (рис. 1, а) 4-сторонней ломаной; б) 16 точек (рис. 1, б) 6-сторонней ломаной.

Ответ показан на рисунке 2.

2. Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, состоящая из: а) четырех сторон; б) пяти сторон; в) n сторон?

         Ответ. а) 1; б) 5; в)

3.     Может ли замкнутая 7-сторонняя ломаная пересекать каждую свою сторону ровно: а) один раз; б) два раза; в) три раза; г) четыре раза?

Ответ: а), в) Нет; б), г) да.

4.     Сколько треугольников получается, если в выпуклом пятиугольнике провести все диагонали?

Ответ. 35.

5. На рисунке 3 изображен многоугольник ABCDE. Из точки O видны полностью стороны AB, DE и EA и лишь частично сторона CD.

Нарисуйте какой-нибудь многоугольник и точку O внутри него так, чтобы ни одна из сторон не была видна из нее полностью.

Нарисуйте многоугольник и точку вне его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью.

Ответ показан на рисунке 4.

6. В выпуклом многоугольнике проведены все его диагонали. Они разбивают этот многоугольник на более мелкие многоугольники. Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник разбиения, если исходный многоугольник имеет 13 сторон?

Ответ. 13 сторон. В образовании каждого из многоугольников разбиения могут участвовать не более двух диагоналей, выходящих из одной вершины. Так как каждая диагональ проходит через две вершины, то при подсчете сторон многоугольника разбиения по диагоналям, на которых они лежат, мы каждую сторону подсчитаем дважды. Поэтому число сторон многоугольника разбиения не может быть больше, чем 132/2=13.

На рисунке 5 изображен 13-угольник, диагонали которого разбивают его на многоугольники, среди которых имеется 13-угольник.

7. На какое наибольшее число частей разбивают плоскость стороны: а) двух треугольников; б) трех треугольников?

Ответ. а) 8 частей (рис. 6, а); б) 20 частей (рис 6, б).

8. Приведите пример, когда общей частью (пересечением) двух треугольников является: а) треугольник; б) четырехугольник; в) пятиугольник; в) шестиугольник.

         Ответ показан на рисунке 7.

9. Может ли пересечением двух треугольников быть семиугольник?

Ответ: Нет.

10. Приведите пример, когда общей частью (пересечением) треугольника и четырехугольника является восьмиугольник.

  Ответ показан на рисунке 8.